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Sigma 與空間相遇的地方

壹、前言

一、研究動機

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上數學課時，老師提到了連續正整數平方和公式 ∑ = ( +1)(2 +1) ，並出了一
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項作業，要我們嘗試證明這項公式。百思不解的我們便上網搜尋了方法，發現網路上的
證明方式不是用代數就是用平面幾何，於是我們突發奇想，思考是否能用立體幾何的方
法以證明之。

二、研究目的

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用立體幾何的方法證明連續正整數平方和公式 ∑ = ( +1)(2 +1) ，並嘗 試僅
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以單一的立體模型證明之。

三、研究方法

透過筆記本、筆、電腦、繪圖軟體 GeoGebra5.0 證明。

四、研究架構

初步構想 建構模型 組合模型 改變 組 證明完畢
合方式

貳、正文

一、初步構想

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根據連續正整數和公式 ∑ = ( +1) 的幾何證明，我們可以得知此證明是由２
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個相同的階梯狀圖形，其中一個翻轉九十度後，拼成一個長為 n+1、寬為 n 之長方形(圖
一)，因此連續正整數和便是此矩形面積的一半。

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由此我們做了一個簡單的假設：連續正整數平方和公式 ∑ = ( +1)(2 +1) ，能
=1
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藉由６個相同的立體圖形，拼湊出長為 n+1、寬為 2n+1、高為 n 的長方體。

倘若我們建構出上述的立體圖形後，則我們將以數學歸納法證明之。

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