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Sigma 與空間相遇的地方

圖一：連續正整數和公式的幾何證明
(資料來源：維基百科)

二、定義名詞

數學歸納法：為一種數學證明方法，步驟如下：

(一) 證明 n=1 時成立。

(二) 在假設 n=k 時成立情況下，進一步推得 n=k+1 時亦成立

即可證明原式成立。

三、建構模型

此處的模型是指我們假設出來的６個相同立體圖形。根據連續正整數和公式的幾何
證明，我們可以推導出一項關係：
2
∑ = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( − 1) + ＝ ( +1)
=1
2
2
( + 1) = 2 ∑ = 2[1 + 2 + 3+. . . . . +( − 1) + ]
=1
我們可以看見上述所說的圖形即為[1 + 2 + 3 + ⋯ + ( − 1) + ]。
而２個[1 + 2 + 3+. . . . . +( − 1) + ]即可建構出一個 ( + 1)的長方形。
因此我們也整理了一下連續正整數平方和公式的關係：
2
2
2
2
2
2
∑ = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( − 1) + ＝ ( +1)(2 +1)
=1
6
2
2
2
2
2
2
( + 1)(2 + 1) = 6 ∑ = 6[1 + 2 + 3 +. . . . . +( − 1) + ]
=1
2
2
2
2
2
同理可證，我們假設的模型即為[1 + 2 + 3 +. . . . . +( − 1) + ]。
2
2
2
2
2
根據上述的推論，我們建構出1 (圖二)、2 (圖三)、3 (圖四)、1 + 2 (圖五)、
2
2
2
1 + 2 + 3 (圖六)的模型。

2
2
2
圖二 ：1 圖三：2 圖四：3
(資料來源：作者電腦繪製) (資料來源：作者電腦繪製) (資料來源：作者電腦繪製)

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