Page 45 - 107-11071115梯次小論文比賽得獎作品

飲水思圓─灑水器擺放位置對草皮覆蓋面積之影響

1、 0 < ≤ 1

透過圓 O 在正方形 ABCD 內的移動，一定的
移動範圍會使圓 O 的覆蓋面積達到最大值，其移

動範圍可形成一正方形 EFGH，正方形 EFGH 邊長
為2 − 2 ，如右圖一。

2、1 < < √2 圖一（自行繪製）

圓 O 的面積會大於正方形 ABCD 的面積，圓 O 以過正方形 ABCD 線段
AD 之水平線為移動軸移動，將移動的範圍設為 d，因 d 的範圍會隨圓 O 的
移動發生變化，而 d 的值不同將會影響圓 O 的覆蓋面積。所以我們把圓 O

移動與正方型 ABCD 的交點數不同作為臨界值且分段討論，但是我們在分
段時卻發現圓 O 在進行移動時，r 的範圍1 < ≤ 1.25與 r>1.25 時圓 O 與正
方形 ABCD 的交點數目會出現不同。

(1) d 範圍為0 ≤ ≤ r − 1時，覆蓋面積的計算及函數繪製

d 範圍為0 ≤ d ≤ r − 1時，我們將扇形 P1P8O
加上∆P1P2O 扇形 P2P3O 加上∆P3P4O 加上扇形 P4P5O

加∆P5P6O 加上扇形 P6P7O 加上∆P7P8O，即可得出
當 d 的範圍為0 ≤ ≤ r − 1時圓 O 的覆蓋面積，
我們令移動距離為 d 呼之覆蓋面積為 Ar(d)，Ar(d)

圖示如右圖二，Y=Ar(d))如下:
圖二（自行繪製）

2
2
Ar(d)=(2 + √2 )√−1 − √2 − 2 + + (2 − √2 )√−1 + √2 − 2 + +
2 2
2
2
2
2
cos −1 ( √2+ +√−2−2√2 − +2 2 ) + cos −1 ( √2− +√−2+2√2 − +2 2 )
2 2
2 2
2
2
2
−2 +(−1+ + √ −1−√2 − 2 + ) +(1+ − √ −1+√2 − 2 + )
2
2
+ 2 cos −1 (− √2 2 2 √2 )

因 Ar(d)較複雜，不易以微分操作，所以我們畫出 y = (d)之圖形

如下圖三，可知其為遞減函數，即在這個範圍下的移動，移動距離 d 越
大，覆蓋面積越小。

2