Page 104 - 107-11071115梯次小論文比賽得獎作品

正三角形任意折時形成的重疊面積

−√3+√3t+m(t)
P ：( ， 0 )
m
Q ：( t，√3(1 − t) )

2
2
t(√3−2m−√3m ) −2√3m(−2+t)+3t−3m (t)
R ：( ， )
4m 4m
2
S ：( −( √3+√3m −2√3t−2m(t) )， 2√3(−√3+m+√3t+m(t)) )
2
2
√3m +2m−√3 √3m +2m−√3

我們得到了座標後，將 P，Q，R，S 帶入測量師公式，因而得到了重疊
面積的一般式。

1 Px Qx Rx Sx Px
| |
2 Py Qy Ry Sy Py | |

2 2
2
2
2
3(1 + m ) (√3m t + √3(2 − 4t + 3t ) + m(−2 − 4t + 6t ))
= −
2
4m(−√3 + 2m + √3m )

（四）公式與 m 的討論

我們已知 t 值在 0 與 1 之間所以我們針對他的變動斜率做出討論。我們
觀察所得到的一般式發現他是一個二次式，所以我們將他對 t 集項後，再配
方。

2 2
2
2
2
3(1 + m ) (√3m t + √3(2 − 4t + 3t ) + m(−2 − 4t + 6t ))
−
2
4m(−√3 + 2m + √3m )

2
−3(1+m ) 2 2
=> ( ) (((2√3 − 2m) + (−4√3 − 4m)t + (3√3 + 6m + √3m )t ))
4m(√3m−1)(m+√3)

2
2
2
=> −3(1+m )(√3m+3) (t − 2 ) + √3(1+m )
4m(√3m−1) √3m+3 2m(√3+m)

我們把 t 值帶入（二）所計算出的四邊形範圍得到：

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