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凱利公式的探索及其案例分析

壹、前言

一、研究動機

因為從國中後便對研究股票及賭博有興趣，修宇時常學習一些可以和此連結的數學
公式，在有一次在研究 21 點（一種利用撲克牌賭博的遊戲時），便查詢到了凱利公式。

凱利公式是一個在有兩種結果的賭局中，因為每次投注時的收益皆不會改變，因此從直
觀的角度來看，最佳解決方案便是按輸贏的比例而計算最佳下注數目的公式，以獲得最
大利益，而若數值為正時，則適合下注，若數值為負時，則反之（維基百科，2022 ；
Nikhil Khanna，2016）。我們在研究中時發現凱利公式在賭博及股市等方面皆有著極大

的影響，因此我們進而想要研究其背後的定理及其在各個領域的案例。

二、研究目的

（一）研究凱利公式的原理及其背景

（二）研究凱利公式在賭博及股市的影響
（三）探討其受到投資客反覆引用的原因

貳、文獻探討

凱利公式是以投資或賭博的成功率及賠率來計算出使本金的長期增長率最大化比例的
公式。凱利公式最初於 1956 年被在 AT&T 貝爾實驗室工作的美國科學家約翰．凱利(John Larry

Kelly, Jr.)所發現。約翰。凱利最初發明這項公式的目的是為了幫助其公司改善長途電話的雜
訊問題。在與同僚討論賽馬時，約翰。凱利推導出一個將風險降低至最小化，並將收益提高
的公式。在 1959~1961 期間，麻省理工學院教授愛德華。索普(Edward Oakley Thorp)將凱利公
式運用在賭博遊戲 21 點上，並且將其發揚光大。至此凱利公式便被世界各地的投資客、賭徒

廣泛使用。有趣的是，約翰。凱利一生從未用過自己研發的公式賺錢。(Corporate Finance
Institute, 2022)

參、研究方法

公式背景→文獻探討→推導公式→案例探討→做出結論→完成
一、大綱
（一）、 凱利公式的背景凱莉公式的推導

1、利用幾何及微積分等觀念來推出凱利公式

二、凱利公式在股市及賭博業的案例和延伸
（一）、 賭博中的應用（以 21 點為例）

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