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凱利公式的探索及其案例分析
（二）、 各種股市中凱利公式的延伸並提供案例

三、探討其背後吸引投資客使用的原因
（一）、 經由案例分析及統整之後作出其受歡迎的結論

肆、研究分析與結果

一、凱利公式的推導（謝宗翰，2013）

設投入的資金為 f，投注可得的賠率為 b ，成功率為 p，失敗率為 1-p(q)
我們將 A t 表示玩到第 t 次賭局後的資金，我們分成兩個方面討論

1、若第 t - 1 次賭局獲勝，則 A t = A t-1(1 + bf)

因為每次都壓原來資金的 f 比例。換句話說，在時間點 t - 1 時一共壓了 A t-1f 那
麼多資金。因為賭局結果為贏，且賠率為 b，所以會淨賺 A t-1fb，再加上原來的資
金 A t-1，故在時間點 t 的資金變為

A t = A t-1 + A t-1fb = A t-1(1 + bf)

2、若第 t - 1 次賭局失利，則 A t = A t-1(1 - f)

因為每次都壓原來資金的 f 比例。換句話說，在時間點 t - 1 時一共壓了 A t-1f 那
麼多資金。因為賭局結果為輸，且所壓的資金是全部輸光，所以一共賠了 A t-1f，
故在時間點 t 的資金變為
A t = A t-1 - A t-1f = A t-1(1 - f)

得到上面兩個結果後，我們可以開始計算每一次賭局後的資金變化

如果在下一個賭局中獲勝，就將原來的資金(A t)乘上(1 + bf)；如過在下一個賭局
落敗，則將原來的資金(A t)乘上(1 - f)

假設賭局持續了 T 次。在 T 次的賭局裡，我們總共贏了 W 次，輸了 L 次。因

此，從一開始 ( t = 0)手上的資金為 A 0，到時間點 T 的總資金可以表示如下

A T = A 0(1 + bf) (1 - f)
W
L

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