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從一題多解看數學學習歷程
令 點為此正多邊形以原點為第一頂點，順時針計算第六個頂點，座標為( )
̅̅̅̅
自點 起，可由直角三角形相似性質，推算出 與 夾角為[ ( ) ]

則 由以下式子可推算： √ ( ( ) )

而 由以下式子可推算： √ ( ( ) )

以此類推。

令√
推導後可得頂點座標通式：
(( ) ( ) ) ( ) , 正負交錯
(( ) ( ) ) ( ) 正負交錯

(( ) ( ) ) ( ) , 正負交錯

(( ) ( ) ) ( ) 正負交錯

由於對角線皆由 ( )始算，因此對角線斜率 = ( )

以正六邊形為例，正六邊形有六種對角線斜率，
̅̅̅̅
其中以 點順時針旋轉到 可得出其中 條；
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
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而 與 雖非對角線，但其斜率與 、 對角線斜率相同，因此可將其斜率視為一解
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以 點順時針旋轉到 可得出其中 種對角線斜率。
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̅̅̅̅
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而 對角線斜率，則可從 順時針旋轉得到；或是從 逆時針旋轉得到。
將多邊形以〈 〉為對稱軸鏡射，即可驗證。

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令此正六邊形中與 斜率相同之 為第一對角線； 為第二對角線；
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
為第三對角線； 為第四對角線；與 斜率相同之 為第五對角線；
̅̅̅̅
為第六對角線
則可推知斜率分別為

伍、研究結論與建議

從多邊形對角線斜率一題多解的探討中，能發現解法包含斜率解、三角函數正切解、向量解、
旋轉矩陣解與複數平面旋轉。進一步將正四邊形的解法推導到正多邊形的一般性，發現藉由三
角函數正切函數、旋轉矩陣和複數平面旋轉能夠以簡易方式推導出各多邊形的斜率。且經手繪
與geogebra推導角度後，可得出正多邊形頂點座標通式：
(( ) ( ) ) ( ) , 正負交錯

(( ) ( ) ) ( ) 正負交錯

(( ) ( ) ) ( ) , 正負交錯

(( ) ( ) ) ( ) 正負交錯

由於無論旋轉矩陣或者複數平面旋轉，皆是從給定之AB邊為始逆時針旋轉。為避免有遺漏不經過
A點之對角線的情形，將該正多邊形以AB邊做線對稱，並且除了原本逆時針旋轉出的對角線外額

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