Page 11 - 普台之星16

圖五 Esther Klein 1927,George Szekeres in 1928
and Paul Erdös in an undated photograph.

圖四 Paul Erdös (1913-1996)

值分別是多少？ f(n) 有沒有一個準確的表達式呢？這是
Erdös 在 1933年時常常和朋友們在匈牙利的首都布
數學中懸而未解的難題之一。直到現今，「幸福結局問
達佩斯討論數學，而這樣的討論也促成一段良緣。在一次
題」依舊是數學家們關注的題目。不管怎樣，當年開啟
數學聚會上，有位叫做 Esther Klein（圖五）的美女同學
討論的才子與佳人，最後的結局真的很幸福。Szekeres 和
提出一個結論：在平面上隨便畫五個點（其中任意三點不
Klein 結婚後的近 70 年裡，他們到過上海，最終定居在澳
共線），那麼一定有四個點，它們構成一個凸四邊形 ( 圖
洲雪梨，期間從未分開過。2005 年 8 月 28 日，94 歲的
六 )。對於這個結論，眾人深感精彩並佩服她的洞察。之
Szekeres 和93歲的 Klein 在相差不到一個小時相繼離開人
後，Erdös 和他的朋友 George Szekeres 仍然對這個問題念
世。
念不忘，於是嘗試對其進行推廣。最終，他們於 1935 年
發表論文，成功地證明了一個更強的結論：對於任意一個 Erdös 的浪漫：數學家一張紙和一支筆就可以工作，
正整數 n ≥ 3，總存在一個正整數 m，使得只要平面上的 總是給人孤僻、單打獨鬥的印象。而 Erdös 可以說是完全
點有 m 個（並且任意三點不共線），那麼一定能從中找 顛覆大眾對數學家的刻版印象，從年輕時即熱衷團體的數
到一個凸 n 邊形。Erdös 把這個問題命名為「幸福結局問 學聚會，並且在論文發表時與不同的數學家合作。他的樂
題」( Happy Ending problem )，因為這個問題讓 Szekeres 於分享、與人討論的態度，讓他在數學界的影響力因為眾
和美女同學 Klein 之間迸出了火花，兩人的心越走越近， 多合作的數學家們而擴展開來，成為繼尤拉之後發表最多
並在 1937 年 6 月 13 日結婚。 有創見數學論文的數學家。因此在數學界流傳有這樣一句
話 :「如果你不知道 Erdös 的話，你就不是一位真正的數
學家。」

√ 與 π 的相遇
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正方形與圓形是數學重要的課題，邊長為 1 的正方形
圖六 幸福結局問題 其邊長與斜邊的比值及圓周長與直徑的比值分別有兩個數
字可以代表——√ 、π。√ 近似值為 1.414，記得當筆
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者在就讀國中時，遇到√ 是以「意思意思」的諧音協助
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記憶；π 則是更早即知道它的近似值是 3.14，近年更有
以 3 月 14 日為 πday作為愛好數學的人們共同慶祝的日
對於一個給定的 n，不妨把最少需要的點數記作 子。
f(n)。求出 f(n) 的準確值是一個不小的挑戰。由於平面 √ 撼動了畢達哥拉斯學派「宇宙萬物皆為整數或整
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上任意不共線三點都能確定一個三角形，因此 f(3)= 3。 數比」的信仰，它卻是符合畢氏定理，但無法用正整數和
Klein 的結論則可以簡單地表示為 f(4)=5。利用一些稍顯 分數的有理數來表達的一個數。目前在中學階段的學生已
複雜的方法，我們可以證明 f(5)=9。2006年，利用計算 經可以掌握√ 是無理數的觀念及證明，臺灣大學的蔡聰
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機的幫助，終於證明了 f(6)=17。對於更大的 n，f(n)的 明教授將收集到的 28 種√ 是無理數的證法，發表於 1999
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數學的羅曼史 9