Page 39 - 1090325小論文

「首」屈「一」指—奇妙的班佛

貳、正文

一、 班佛定律簡介

大約在 1881 年，美國有一位天文學家西蒙．紐康（Simon Newcomb）在圖書館
翻閱對數表時，發現以 1 為開頭的數所在的頁數較 2 開頭的骯髒破舊。以此類推，

以 9 為開頭的是最乾淨的。他得出以下結論：若書頁髒舊程度與使用次數成正比，

則可推知其他使用此對數表的科學家所處理的數據，反映了上述分布。也就是 1
開頭的數據使用最頻繁。

直至 1938 年，美國物理學家法蘭克．班佛（Frank Benford）在紐約通用電氣公

司總部實驗室查閱對數表時，也發現了這樣的現象，並以大量數據證實此點，這也
是此定律現行名稱的由來。然而，紐康和班佛皆未能提出此定律的證明。直至 1995

年，亞特蘭大喬治亞理工學院的數學家西奧多．希爾（Theodore Hill）才為此定律
做了完整的證明。

二、 定理內容

此定理說明一筆自然發生、由累積方式而得的觀察值中，首位數字為 1 的數據
所佔比例為全體最高者，其比例隨數字增加而遞減，並非平均分布時期望值的 1/9。

它可以用一個對數函數來表達，在 b 進位制中，以數字 n 為首的數出現之機率可表

示為：Ｐ( ) ( ) ( ) ( )

經計算後的結果如下表所示，首位數字為 1 的數據約佔全體的三成，2 為首的
便下降至約一成八，並依序遞減。

表 1：班佛定律各首數所佔比例之理論值

ｎ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
比例 30.1% 17.6% 12.5% 9.7% 7.9% 6.7% 5.8% 5.1% 4.6%

（圖表來源：維基百科：班佛定律。2020 年 2 月 27 日。取自

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AC%E7%A6%8F%E7%89%B9%E5%AE%9A%E5%BE%8B）

三、 定理說明

歷史上有各種班佛定律的理解方法，在此提出三種。

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